Калькулятор по физике
Механика для школьников и студентов: формулы, расчёты и пошаговые решения

Тело, брошенное под углом к горизонту

Введите начальную скорость и угол броска — калькулятор разложит скорость на составляющие и найдёт время полёта, максимальную высоту и дальность. Сопротивление воздуха не учитывается.

км/ч → м/с: разделить на 3,6
Максимальная дальность при 45°
Например, 1,5 м из рук
Введите значения

Формула: v₀ₓ = v₀·cos α; v₀ᵧ = v₀·sin α; H = v₀²·sin²α/(2g); L = v₀²·sin 2α/g; t = 2·v₀·sin α/g

v₀ₓ, v₀ᵧ — горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости (м/с); H — максимальная высота (м); L — дальность полёта (м); t — время полёта (с).

Пример решения задачи

  1. Задача: мяч брошен со скоростью 20 м/с под углом 45° к горизонту. Найти дальность и время полёта.
  2. Дано: v₀ = 20 м/с, α = 45°, g = 9,8 м/с². Найти: L, t, H.
  3. Шаг 1. Раскладываем скорость: v₀ₓ = 20·cos45° ≈ 14,1 м/с, v₀ᵧ = 20·sin45° ≈ 14,1 м/с.
  4. Шаг 2. Время полёта: t = 2·v₀ᵧ/g = 2·14,1/9,8 ≈ 2,89 с.
  5. Шаг 3. Дальность: L = v₀ₓ·t = 14,1 · 2,89 ≈ 40,8 м. Или сразу L = v₀²·sin90°/g = 400/9,8 ≈ 40,8 м.
  6. Шаг 4. Высота: H = v₀ᵧ²/(2g) = 199/19,6 ≈ 10,2 м.
  7. Ответ: L ≈ 40,8 м, t ≈ 2,9 с, H ≈ 10,2 м.

Разбор формулы и теория

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — это сложение двух независимых движений: равномерного по горизонтали (там нет сил, если не считать сопротивления воздуха) и равноускоренного по вертикали с ускорением g. Принцип независимости движений и есть главный приём решения: скорость раскладывают на составляющие v₀·cos α и v₀·sin α, дальше по каждой оси работают свои формулы. Траектория получается параболой. Дальность максимальна при угле 45°, а углы, дополняющие друг друга до 90° (например, 30° и 60°), дают одинаковую дальность, но разное время полёта и разную высоту — это классический вопрос на олимпиаде. В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная сохраняется, поэтому полная скорость там минимальна и равна v₀·cos α. Если бросок сделан с возвышения, симметрия нарушается: время падения больше времени подъёма, и оптимальный угол становится меньше 45°. В реальности сопротивление воздуха уменьшает дальность и делает траекторию несимметричной — нисходящая ветвь круче восходящей.

Частые вопросы

При каком угле дальность броска максимальна?

При 45° — в формуле L = v₀²·sin2α/g синус достигает единицы при 2α = 90°. При броске с высоты оптимальный угол чуть меньше 45°.

Как найти дальность полёта?

L = v₀²·sin 2α / g. При v₀ = 20 м/с и α = 45° получаем 400·1/9,8 ≈ 40,8 м.

Чему равна скорость в верхней точке траектории?

Она равна горизонтальной составляющей v₀·cos α и направлена горизонтально. Вертикальная составляющая в этот момент равна нулю, а ускорение по-прежнему g.

Почему углы 30° и 60° дают одинаковую дальность?

Потому что sin 60° = sin 120°: при α = 30° и α = 60° величина sin 2α одинакова. Но при 60° тело летит выше и дольше.